Il Concetto di Tempo in Meccanica Quantistica

Introduzione

In questa tesi viene mostrato com’è trattato il concetto di tempo in fisica.

A tal fine si è considerato innanzitutto il ruolo che assume in meccanica classica per poter poi capire in che modo può essere introdotto nella formulazione della meccanica quantistica. Per capire ciò, è necessario sapere che la meccanica quantistica si fonda su una formulazione completamente diversa rispetto alla meccanica classica. Essa infatti, descrive il comportamento di fenomeni subatomici per i quali non è possibile applicare le leggi della meccanica classica, ossia le usuali leggi che regolano la maggior parte dei fenomeni osservabili nella nostra vita quotidiana. Per le particelle subatomiche dunque, valgono delle leggi e si osservano dei fenomeni che possono sembrarci assurdi e ‘impossibili’ paragonati a quelli a cui siamo abituati a vedere nella vita di tutti i giorni. Per essere più chiari e per dare un esempio, basti pensare che per un corpo classico (un qualsiasi oggetto che vediamo nella vita quotidiana, p.e. televisore, tavolo, libro, ecc.), osservandolo, possiamo conoscere esattamente la sua posizione e il suo momento (massa x velocità). Ciò non può assolutamente essere vero per una particella quantistica, per la quale, secondo il principio di indeterminazione di Heisenberg, possiamo conoscere la posizione e il momento solo con una certa probabilità, e più è alta la probabilità con cui conosciamo una delle suddette grandezze, più bassa sarà la probabilità con cui conosciamo l’altra. In meccanica quantistica dunque, non si sa nulla con certezza: si conosce il valore di una data grandezza fisica con una certa probabilità. Per esempio, non potrò mai dire “Questa particella sta viaggiando con velocità  200 000 km/s”, ma dovrò dire “Questa particella sta viaggiando con velocità 200 000 km/s con il 50% di probabilità”.

A causa di tutto ciò, nella formulazione della meccanica quantistica non è possibile trattare le grandezze fisiche (posizione, velocità, momento, ecc.) nello stesso modo in cui vengono trattate in meccanica classica, ma, per ognuna di esse esiste una corrispettiva osservabile (o operatore), con la quale viene formulata la meccanica quantistica (per essere più chiari, un’osservabile quantistica è rappresentata da una particolare espressione matematica, diversa per ogni grandezza). Dunque, al posto della grandezza fisica classica posizione, avremo l’osservabile posizione, al posto del momento classico, avremo l’osservabile momento, e così via.

L’unica grandezza fisica per cui non esiste un’osservabile quantistica è il tempo. È per questo che è utile ed interessante trattare il concetto di tempo in meccanica quantistica. In questa tesi dunque, si è dapprima visto come il tempo viene trattato in meccanica classica, con l’obiettivo di capire i motivi per cui non esiste l’osservabile tempo e quali sono alcuni tentativi di superare tale problema.

Il tempo in meccanica classica

Nella trattazione usuale della meccanica classica le coordinate spaziali e quella temporale vengono trattate in modo distinto. Un punto materiale infatti, viene definito dalle tre coordinate spaziali, che sono dipendenti dal tempo (si definisce cioè, la posizione di un punto in ogni istante di tempo).

Si è dimostrato inoltre, che tempo ed energia possono essere trattati come variabili coniugate, concetto di cui non spiego il significato qui, ma che è utile per capire alcuni sviluppi della trattazione sul tempo in meccanica quantistica.

Il tempo in meccanica quantistica

Quando due variabili sono classicamente coniugate, in meccanica quantistica ciò equivale a dire che i corrispettivi operatori hanno parentesi di commutazione uguale a iħ (dove i è l’unità immaginaria e ħ la costante di Plank diviso 2π). Dunque, se esistesse un’osservabile tempo essa dovrebbe commutare con l’energia in tal modo. Si dimostra che in tal caso, sia il tempo che l’energia dovrebbero assumere tutti i valori dell’asse reale (cioè valori sia positivi che negativi). Ciò non è un problema per il tempo, ma lo è per l’energia. Per essa infatti si usa stabilire un livello di riferimento (di solito lo 0) sotto il quale non può scendere. Il fatto che essa possa assumere valori sempre più negativi fino ad arrivare a -∞ porterebbe a degli assurdi fisici. Questo dunque è il motivo principale per cui non esiste un’osservabile tempo nella formulazione della meccanica quantistica.

Esistono però dei tentativi per superare tale problema e costruire un operatore tempo.

Solitamente, il tempo assume il ruolo di parametro, da esso cioè dipendono tutte le altre grandezze fisiche e nell’equazione di Schröedinger, ossia l’equazione che regola l’evoluzione del sistema, il tempo compare come parametro esterno.

Se il tempo, invece di comportarsi come parametro, assume il ruolo di quantità misurabile – e i casi non sono affatto rari- allora è del tutto naturale attribuirgli un’osservabile nel formalismo quantistico. È utile introdurre a tal proposito il concetto di ‘tempo di arrivo’, ossia il tempo che impiega una particella, dopo essere stata emessa, a raggiungere un rivelatore posto ad una certa distanza dall’apparato che emette la particella stessa.

Conclusioni

In generale, in meccanica quantistica non esiste un’osservabile tempo. Ci sono però dei tentativi per costruirlo: è il caso del tempo di arrivo.

Per il ‘tempo di arrivo’ quindi, è possibile costruire un operatore quantistico, ma ci sono diversi tentativi per farlo e, in ogni caso, si è soggetti a delle rinunce.

Gli operatori quantistici hanno una proprietà detta ‘autoaggiuntezza’.

Se si richiede al tempo di essere coniugato all’energia, come già spiegato, ciò porterebbe a degli assurdi, ma nel caso del tempo di arrivo è una proprietà che può tranquillamente essere richiesta se però si rinuncia all’autoaggiuntezza.

D’altro canto, se si richiede che l’operatore tempo sia necessariamente autoaggiunto, bisogna rinunciare al fatto che esso possa essere coniugato all’energia.

Quindi nel caso particolare del ‘tempo di arrivo’, o in qualunque caso in cui il tempo non assume il ruolo di parametro, ma di quantità misurabile, è possibile inserire un’osservabile tempo nel contesto della meccanica quantistica, dovendo però, in ogni caso, rinunciare a delle proprietà fondamentali a cui si sarebbe abituati per un qualsiasi altro operatore quantistico.

Adriana Vernice

Università del Salento – Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali – Tesi del corso di laurea triennale di Fisica. Relatore: Prof. Luigi Solombrino.

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